Question

13．已知$f（x）={sin^2}（2x-\frac{π}{4}）-2t•sin（2x-\frac{π}{4}）+{t^2}-6t+1（x∈[\frac{π}{24}，\frac{π}{2}]）$其最小值为g（t）．
（1）若t=1，求$f（{\frac{π}{8}}）$的值；
（2）求g（t）的表达式；
（3）当$-\frac{1}{2}≤t≤1$时，要使关于t的方程g（t）=kt有一个实根，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若t=1，代入计算求$f（{\frac{π}{8}}）$的值；
（2）分类讨论，求g（t）的表达式；
（3）令h（t）=g（t）-kt，欲使g（t）=kt有一个实根，则只需$\left\{{\begin{array}{l}{h（-\frac{1}{2}）≤0}\\{h（1）≥0}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{h（-\frac{1}{2}）≥0}\\{h（1）≤0}\end{array}}\right.$，即可求实数k的取值范围．

解答 解：（1）t=1，$f（{\frac{π}{8}}）$=1-6+1=-4                                       …（3分）
（2）因为$x∈[\frac{π}{24}，\frac{π}{2}]$，所以$2x-\frac{π}{4}∈[-\frac{π}{6}，\frac{3π}{4}]$，
所以$sin（2x-\frac{π}{4}）∈[-\frac{1}{2}，1]$…（5分）
$f（x）={[sin（2x-\frac{π}{4}）-t]^2}-6t+1$（$x∈[\frac{π}{24}，\frac{π}{2}]$）
当$t＜-\frac{1}{2}$时，则当sin（2x-$\frac{π}{4}$）=-$\frac{1}{2}$时，${[f（x）]_{min}}={t^2}-5t+\frac{5}{4}$…（6分）
当-$\frac{1}{2}$≤t≤1时，则当sin（2x-$\frac{π}{4}$）=t时，f（x）_min=-6t+1 …（7分）
当t＞1时，则当sin（2x-$\frac{π}{4}$）=1时，${[f（x）]_{min}}={t^2}-8t+2$…（8分）
故g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}-5t+\frac{5}{4}，t＜-\frac{1}{2}}\\{-6t+1，-\frac{1}{2}≤t≤1}\\{{t}^{2}-8t+2，t＞1}\end{array}\right.$                     …（9分）
（3）当$-\frac{1}{2}≤t≤1$时，g（t）=-6t+1，令h（t）=g（t）-kt
欲使g（t）=kt有一个实根，则只需$\left\{{\begin{array}{l}{h（-\frac{1}{2}）≤0}\\{h（1）≥0}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{h（-\frac{1}{2}）≥0}\\{h（1）≤0}\end{array}}\right.$
解得k≤-8或k≥-5．           …（12分）

点评 本题考查函数的最值，考查三角函数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．