Question

已知数列中，，且．为数列的前项和，且．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项的和；

（Ⅲ）证明对一切，有．

Answer 1

解：（I）由已知得，

，，

由题意，即，   

当n为奇数时，；当n为偶数时，.                     

所以.　　　　　　　　　　　

（Ⅱ）解法一：

由已知，对有，

两边同除以，得，

即，

于是，==，

即，，所以=，

，，又时也成立，故，.

所以，                             

解法二：也可以归纳、猜想得出，然后用数学归纳法证明．

（Ⅲ）当，有，

所以时，有

=.

当时，.  故对一切，有.