Question

 

Answer 1

解析：⑴ ①证明: ∵平面ACEF⊥平面ABCD，EC⊥AC，

∴EC⊥平面ABCD；连接BD交AC于点O，连接FO，

∵正方形ABCD的边长为，∴AC＝BD＝2；

在直角梯形ACEF中，∵EF＝EC＝1，O为AC中点，

∴FO∥EC，且FO＝1；易求得DF＝BF＝，

DE＝BE＝，由勾股定理知 DF⊥EF，BF⊥EF，

∴∠BFD是二面角B－EF－D的平面角，

由BF＝DF＝，BD＝2可知∠BFD＝，

∴平面BEF⊥平面DEF 

⑵取BF中点M，BE中点N，连接AM、MN、AN，∵AB＝BF＝AF＝，∴AM⊥BF，

又∵MN∥EF，EF⊥BF，∴MN⊥BF，∴∠AMN就是二面角A－BF－E的平面角。

易求得，；

在Rt△中，可求得，

∴在△中，由余弦定理求得，

∴，

（3）等体积法：

设Ｄ点到平面ＡＢＦ的距离为d　   因为是正三角形且边长为

所以

 ，

所以，　　　解得d=

(或先求点Ｏ到平面ＡＢＦ的距离，由Ｄ点到平面ＡＢＦ的距离是Ｏ点到平面ＡＢＦ距离的两倍求得)

求法：取ＡＢ的中点Ｍ连ＯＭ，ＦＭ在中过Ｏ点作斜边ＦＭ的垂线ＯＨ垂足为Ｈ，则ＯＨ为点Ｏ到平面ＡＢＦ的距离，Ｄ到平面ＡＢＦ的距离d=2OH

，所以