Question

15．设a、b为正数，考察如下两组条件的关系：
α：对任意的x＞1，有ax+$\frac{x}{x-1}$＞b都成立；
β：$\sqrt{a}$+2＞$\sqrt{b}$
则α是β的（　　）

• A． 充分非必要条件
• B． 必要非充分条件
• C． 充要条件
• D． 既非充要又非必要条件

Answer 1

分析 根据α，β中的条件，得到a，b的关系，从而得到答案．

解答 解：α：∵a、b为正数，x＞1，
ax+$\frac{x}{x-1}$=a（x-1）+$\frac{1}{x-1}$+a+1≥2$\sqrt{a（x-1）•（\frac{1}{x-1}）}$+a+1=2$\sqrt{a}$+a+1=${（\sqrt{a}+1）}^{2}$＞b，
∴$\sqrt{a}$+1＞$\sqrt{b}$，即：$\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$＞-1，
β：$\sqrt{a}$+2＞$\sqrt{b}$?$\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$＞-2，
故α是β的充分不必要条件，
故选：A．

点评 本题考查了充分必要条件，考查基本不等式问题，是一道基础题．