Question

4．已知等差数列{a_n}的通项公式为a_n=4n-2，各项都是正数的等比数列{b_n}满足b₁=a₁，b₂+b₃=a₃+2．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n+b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）设各项都是正数的等比数列{b_n}的公比为q，运用等比数列的通项公式，解方程可得q=2，即可得到所求通项公式；
（2）求得a_n+b_n=4n-2+2ⁿ，运用数列的求和方法：分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．

解答 解：（1）设各项都是正数的等比数列{b_n}的公比为q，
由题意可得b₁=2，b₂+b₃=12，
即有2q+2q²=12，解得q=2（-3舍去），
即有b_n=2•2^n-1=2ⁿ，
（2）a_n+b_n=4n-2+2ⁿ，
前n项和S_n=（2+6+…+4n-2）+（2+4+…+2ⁿ）
=$\frac{1}{2}$（2+4n-2）n+$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$
=2n²+2ⁿ⁺¹-2．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和，考查运算能力，属于基础题．