Question

如图，已知直线与抛物线y²=2px（p＞0）交于A，B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于点D，点D的坐标为（2，1），求p的值．

Answer 1

【答案】分析：A、B两点在抛物线y²=2px上，可设点A（，y₁），B（，y₂），根据向量、互相垂直，利用数量积列式，化简得．利用经过两点的斜率公式，得直线AB的斜率为，结合点斜式方程得到直线AB的方程为，令y=0，化简可得x=2p，所以直线AB经过x轴上的定点M（2p，0）．然后根据OD⊥AB，得到直线AB的斜率为-2，最后结合D、M的坐标，可得，解之得p=．
解答：解：因为A、B两点在抛物线y²=2px上，设点A（，y₁），B（，y₂）
∵ 
∴=⇒
∵y₁y₂≠0，∴⇒…①
∵直线AB的斜率为
∴直线AB的方程为，
令y=0，得⇒=2px-
∴-y₁y₂=2px…②
将①代入②，得4p²=2px⇒x=2p
所以直线AB经过x轴上的定点M（2p，0）
∵OD⊥AB，OD的斜率为k₁==
∴直线AB的斜率为，
∴结合D、M的坐标，可得，解之得p=．
点评：本题给出过原点的直线与抛物线交于A，B两点，且OA⊥OB，并且已知原点在直线AB上的射影坐标，求抛物线的焦参数值．着重考查了抛物线的简单性质、直线与圆锥曲线间的关系等知识点，属于难题．