Question

已知抛物线G的顶点在原点，焦点在y轴正半轴上，点P（m，4）到其准线的距离等于5．
（I）求抛物线G的方程；
（II）如图，过抛物线G的焦点的直线依次与抛物线G及圆x²+（y﹣1）²=1交于A、C、D、B四点，试证明|AC||BD|为定值；
（III）过A、B分别作抛物G的切线l₁，l₂且l₁，l₂交于点M，试求△ACM与△BDM面积之和的最小值．

Answer 1

解：（1）由题知，抛物线的准线方程为y+1=0， =1
所以抛物线C的方程为x²=4y．
（2）设直线AB方y=kx+1交抛物线C于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由抛物线定义知|AF|=y₁+1，|BF|=y₂+1，
所以|AC|=y₁，|BD|=y₂，
由 得x²﹣4kx﹣4=0，
显然△＞0，则x₁+x₂=4k，x₁x₂=﹣4，
所以y₁y₂= =1，
所以|AC||BD|为定值1．
（3）解：由x²=4y，y= x²，y= x，
得直线AM方程y﹣ = x₁（x﹣x₁）（1），
直线BM方程y﹣ = x₂（x﹣x₂）（2），
由（2）﹣（1）得 （x₁﹣x₂）x= ﹣ ，所以x= （x₁+x₂）=2k，
∴y=﹣1 所以点M坐标为（2k，﹣1），
点M到直线AB距离d= =2 ，
弦AB长为|AB|=  =  =4（1+k²），
△ACM与△BDM面积之和，
S= （|AB|﹣2）d= ×（2+4k²）×2 =2（1+2k²） ，
当k=0时，即AB方程为y=1时，△ACM与△BDM面积之和最小值为2．