Question

如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD的中点．

(1)证明：PE⊥BC；

(2)若∠APB＝∠ADB＝60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．

Answer 1

解：

以H为原点，HA、HB、HP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，

则A(1,0,0)，B(0,1,0).

(1)证明：设C(m,0,0)，P(0,0，n)(m＜0，n＞0)．

则D(0，m,0)，E

可得＝．

因为·＝－＋0＝0，

所以PE⊥BC.

(2)由已知条件及(1)可得m＝－，n＝1，则P(0,0,1)．

＝，＝(－1,0,1)．

由(1)知为面PEH的一个法向量．

因此直线PA与平面PEH所成角的正弦值为.