Question

如图，直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AC＝BC＝AA₁，D是棱AA₁的中点，DC₁⊥BD.

(1)证明：DC₁⊥BC；

(2)求二面角A₁－BD－C₁的大小．

Answer 1

解：(1)证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形．由于D为AA₁的中点，故DC＝DC₁.又AC＝AA₁，可得DC＋DC²＝CC，

所以DC₁⊥DC.

而DC₁⊥BD，DC∩BD＝D，

所以DC₁⊥平面BCD.

又BC⊂平面BCD，

故DC₁⊥BC.

(2)由(1)知BC⊥DC₁，且BC⊥CC₁，则BC⊥平面ACC₁A₁，所以CA，CB，CC₁两两相互垂直．

以C为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.

由题意知A₁(1,0,2)，B(0,1,0)，D(1,0,1)，C₁(0,0,2)．

则＝(0,0，－1)，＝(1，－1,1)，＝(－1,0,1)．

设n＝(x，y，z)是平面A₁B₁BD的法向量，则

可取n＝(1,1,0)．

同理，设m是平面C₁BD的法向量，则可取m＝(1,2,1)．

从而cos〈n，m〉＝＝.

故二面角A₁－BD－C₁的大小为30°.