题目内容
（2012•湖北模拟）已知椭圆
+
=1(a＞b＞0)上有一个顶点到两个焦点之间的距离分别为3+2
，3-2
．
（1）求椭圆的方程；
（2）如果直线x=t（t∈R）与椭圆相交于A，B，若C（-3，0），D（3，0），证明直线CA与直线BD的交点K必在一条确定的双曲线上；
（3）过点Q（1，0）作直线l（与x轴不垂直）与椭圆交于M、N两点，与y轴交于点R，若
=λ
，
=μ
，证明：λ+μ为定值．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 2 |
| 2 |
（1）求椭圆的方程；
（2）如果直线x=t（t∈R）与椭圆相交于A，B，若C（-3，0），D（3，0），证明直线CA与直线BD的交点K必在一条确定的双曲线上；
（3）过点Q（1，0）作直线l（与x轴不垂直）与椭圆交于M、N两点，与y轴交于点R，若
| RM |
| MQ |
| RN |
| NQ |
分析：（1）根据椭圆
+
=1(a＞b＞0)上有一个顶点到两个焦点之间的距离分别为3+2
，3-2
，建立方程，结合b2=a2-c2，即可求得椭圆方程；
（2）设出A（t，y0），B（t，-y0），K（x，y），利用A在椭圆上有
+y02=1，求出CA，DB的方程，相乘，即可得到结论；
（3）设直线l的方程为y=k（x-1），与椭圆方程联立，利用韦达定理及
=λ
，
=μ
，求出λ，μ的值，即可得出结论．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 2 |
| 2 |
（2）设出A（t，y0），B（t，-y0），K（x，y），利用A在椭圆上有
| t2 |
| 9 |
（3）设直线l的方程为y=k（x-1），与椭圆方程联立，利用韦达定理及
| RM |
| MQ |
| RN |
| NQ |
解答：解：（1）由已知得
，解得
∴b2=a2-c2=1…（3分）
∴椭圆方程为
+y2=1．…（5分）
（2）依题意可设A（t，y0），B（t，-y0），K（x，y），且有
+y02=1
又CA：y=
(x+3)，DB：y=
(x-3)，
∴y2=
(x2-9)，
将
+y02=1代入即得y2=
(x2-9)，
-y2=1
所以直线CA与直线BD的交点K必在双曲线
-y2=1上．…（10分）
（3）依题意，直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y=k（x-1），…（11分）
设M（x3，y3）、N（x4，y4）、R（0，y5），则M、N两点坐标满足方程组
消去y并整理，得（1+9k2）x2-18k2x+9k2-9=0，
所以x3+x4=
，①x3x4=
，②…（13分）
因为
=λ
，所以（x3，y3）-（0，y5）=λ[（1，0）-（x3，y3）]，
即
，所以x3=λ（1-x3），
又l与x轴不垂直，所以x3≠1，
所以λ=
，同理μ=
． …（14分）
所以λ+μ=
+
=
．
将①②代入上式可得λ+μ=-
． …（16分）
|
|
∴b2=a2-c2=1…（3分）
∴椭圆方程为
| x2 |
| 9 |
（2）依题意可设A（t，y0），B（t，-y0），K（x，y），且有
| t2 |
| 9 |
又CA：y=
| y0 |
| t+3 |
| -y0 |
| t-3 |
∴y2=
-
| ||
| t2-9 |
将
| t2 |
| 9 |
| 1 |
| 9 |
| x2 |
| 9 |
所以直线CA与直线BD的交点K必在双曲线
| x2 |
| 9 |
（3）依题意，直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y=k（x-1），…（11分）
设M（x3，y3）、N（x4，y4）、R（0，y5），则M、N两点坐标满足方程组
|
消去y并整理，得（1+9k2）x2-18k2x+9k2-9=0，
所以x3+x4=
| 18k2 |
| 1+9k2 |
| 9k2-9 |
| 1+9k2 |
因为
| RM |
| MQ |
即
|
又l与x轴不垂直，所以x3≠1，
所以λ=
| x3 |
| 1-x3 |
| x4 |
| 1-x4 |
所以λ+μ=
| x3 |
| 1-x3 |
| x4 |
| 1-x4 |
| (x3+x4)-2x3x4 |
| 1-(x3+x4)+x3x4 |
将①②代入上式可得λ+μ=-
| 9 |
| 4 |
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查方程与曲线的关系，考查直线与椭圆的位置关系，联立方程组，利用韦达定理是关键．
练习册系列答案
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