Question

【题目】四棱锥P﹣ABCD底面是一个棱长为2的菱形，且∠DAB=60°，各侧面和底面所成角均为60°，则此棱锥内切球体积为 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：四棱锥P﹣ABCD底面是一个棱长为2的菱形，且∠DAB=60°，△ADB，△DBC都是正三角形，边长为2，三角形的高为： ．

由题意设内切球的半径为r，

四棱锥的高为：h，∴h= = ，斜高为：

棱锥的体积为：V= S底h= = ．

连结球心与底面的四个顶点，组成5个三棱锥，题目的体积和就是四棱锥的体积，

∴S全=4× +2×2sin60°=6 ．

∴ = ，

r= ．

球的体积为： = = ．

所以答案是：

【考点精析】解答此题的关键在于理解棱锥的结构特征的相关知识，掌握侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方，以及对球内接多面体的理解，了解球的内接正方体的对角线等于球直径;长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长．