Question

【题目】如图①：在平行四边形中,,,将沿对角线折起,使,连结,得到如图②所示三棱锥.

（1）证明：平面；

（2）若,二面角的平面角的正切值为,求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）证明,从而证明平面,进而得出,即可证平面.最后证得平面.

（2）若,二面角的平面角的正切值为,由（1）知平面,

因为平面,所以,

又,所以即为二面角的平面角,得,从而求出,,建立空间直角坐标系,求平面的法向量为,

最后根据公式,即得直线与平面所成角大小.

（1）证明：在平行四边形中,,

则.

在三棱锥中,因为,.

所以平面,所以.

又,,所以平面.

又平面,所以.

因为,,所以平面.

（2）解：由（1）知平面,

因为平面,所以,

又,所以即为二面角的平面角,即.

因为平面,平面.

所以,故,

又.所以.

在平行四边形,,,

所以与为相似三角形,则,

故（）,解得,

故,解得,

所以,.

过点作,以为坐标原点,,,的方向为轴、轴、轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图所示.

则,,,.

所以,,.

设平面的法向量为,

则

令,得.

设直线与平面所成角为,

即直线与平面所成角为.