Question

椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F（c，0）（c＞0）的准线l与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点．
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若，求直线PQ的方程；
（3）设（λ＞1），过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M，证明．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意，可设椭圆的方程为，列出关于a，b的方程组，解出a，b值，从而求得椭圆的方程及离心率；（2）由（1）可得A（3，0）．设直线PQ的方程为y=k（x-3）．将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量垂直条件即可求得k值，从而解决问题．
（2）先得出向量的坐标．由已知得方程组解得x₂，最后经计算得出即可．
解答：（1）解：由题意，可设椭圆的方程为．
由已知得
解得
所以椭圆的方程为，离心率．
（2）解：由（1）可得A（3，0）．
设直线PQ的方程为y=k（x-3）．由方程组
得（3k²+1）x²-18k²x+27k²-6=0
依题意△=12（2-3k²）＞0，得．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则，①
．②
由直线PQ的方程得y₁=k（x₁-3），y₂=k（x₂-3）．于是y₁y₂=k²（x₁-3）（x₂-3）=k²[x₁x₂-3（x₁+x₂）+9]．③
∵，∴x₁x₂+y₁y₂=0．④
由①②③④得5k²=1，从而．
所以直线PQ的方程为或
（3）证明：．
由已知得方程组
注意λ＞1，解得
因F（2，0），M（x₁，-y₁），故=．
而，所以．
点评：本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力．