Question

如图，已知平行四边形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=1，AD=2，∠ADC=60°，AF=a（a＞0），M是线段EF的中点．
（1）求证：AC⊥BF；
（2）若二面角F-BD-A的大小为60°，求a的值；
（3）令a=1，设点P为一动点，若点P从M出发，沿棱按照M→E→C的路线运动到点C，求这一过程中形成的三棱锥P-BFD的体积的最小值．

Answer 1

分析：（1）建立空间直角坐标系，求出

CA

•

BF

=0，即可证明AC⊥BF；
（2）求出平面ABD的法向量

n

，平面FBD的法向量

m

，利用|cos＜

m

，

n

＞|=

m • n

1•| m |

及二面角F-BD-A的大小为60°，求a的值；
（3）解1a=1，设AC与BD交于O，则OF∥CM，所以CM∥平面FBD，当P点在M或C时，直接求出三棱锥P-BFD的体积的最小．
解2，求出平面FBD的法向量

m

，利用公式点C到平面FBD的距离d=

| CO • m |

m

，求解即可．

解答：解：建立空间坐标系，

（1）C(0，0，0)，D(1，0，0)，A(0，

3

，0)，F(0，

3

，a)，B(-1，

3

，0)

CA

=(0，

3

，0)，

BF

=(1，0，a)，

DF

=(-1，

3

，a)

CA

•

BF

=0，
所以AC⊥BF．（5分）

（2）平面ABD的法向量

n

=(0，0，1)，
平面FBD的法向量

m

=(x，y，z)

DF • m =0 BF • m =0

，

m

=(-a，-

2a

3

，1)
|cos＜

m

，

n

＞|=

m • n

1•| m |

=

1

2

，a2=

9

7

，a=

3 7

7

(10分)
（3）解1设AC与BD交于O，则OF∥CM，所以CM∥平面FBD，
当P点在M或C时，三棱锥P-BFD的体积的最小．
(VP-BFD)min=VC-BFD=VF-BCD=

1

3

×

1

2

•2•1sin120°=

3

6

（14分）
解2设AC与BD交于O，则OF∥CM，所以CM∥平面FBD，
当P点在M或C时，三棱锥P-BFD的体积的最小．
S△BDF=

1

2

FD•BF=

10

2

，
平面FBD的法向量

m

=(-1，

-2

3

，1)，

CO

=(-1，

3

，a)
点C到平面FBD的距离d=

| CO • m |

m

=

3 10

V=

1

3

S•d=

3

6

．（14分）

点评：本题考查用空间向量求平面间的夹角，棱柱、棱锥、棱台的体积，向量语言表述线线的垂直、平行关系，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．