函数y=x+$\frac{1}{x}$在(0.1]上是减函数.在[1.+∞)上是增函数.函数y=x+$\frac{2}{x}$在$(0.\sqrt{2}]$上是减函数.在$[\sqrt{2}.+∞)$上是增函数.函数y=x+$\frac{3}{x}$在$(0.\sqrt{3}]$上是减函数.在$[\sqrt{3}.+∞)$上是增函数.-利用上述所提供的信息解决下列问� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．函数y=x+$\frac{1}{x}$在（0，1]上是减函数，在[1，+∞）上是增函数，函数y=x+$\frac{2}{x}$在$（0，\sqrt{2}]$上是减函数，在$[\sqrt{2}，+∞）$上是增函数，函数y=x+$\frac{3}{x}$在$（0，\sqrt{3}]$上是减函数，在$[\sqrt{3}，+∞）$上是增函数，
…利用上述所提供的信息解决下列问题：若函数y=x+$\frac{3^m}{x}$（x＞0）的值域是[6，+∞），则实数m的值为（　　）

A．

B．

C．

D．

分析可根据$y=x+\frac{1}{x}，y=x+\frac{2}{x}，y=x+\frac{3}{x}$在（0，+∞）上的单调性，从而可推导出函数$y=x+\frac{{3}^{m}}{x}$在（0，+∞）上的单调性，进而可求出该函数的最小值，由最小值为6即可建立关于m的方程，解方程便可得出m的值．

解答解：由条件得：
$y=x+\frac{{3}^{m}}{x}$在（0，$\sqrt{{3}^{m}}$]上是减函数，在$[\sqrt{{3}^{m}}，+∞）$上是增函数；
∴$x=\sqrt{{3}^{m}}$时，该函数在（0，+∞）上取最小值$\sqrt{{3}^{m}}+\frac{{3}^{m}}{\sqrt{{3}^{m}}}=2\sqrt{{3}^{m}}=6$；
∴3^m=9；
∴m=2．
故选B．

点评考查对函数$y=x+\frac{1}{x}，y=x+\frac{2}{x}$以及$y=x+\frac{3}{x}$单调性的判断，从而可通过归纳的方法得出函数$y=x+\frac{a}{x}$（a＞0）的单调性，进而能够得出$y=x+\frac{{3}^{m}}{x}$的单调性，以及根据单调性求函数最值的方法．

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