Question

 [2012·北京卷] 如图1－9(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁F⊥CD，如图1－9(2)．

(1)求证：DE∥平面A₁CB；

(2)求证：A₁F⊥BE；

(3)线段A₁B上是否存在点Q，使A₁C⊥平面DEQ？说明理由．

图1－9

Answer 1

解：(1)证明：因为D，E分别为AC，AB的中点，

所以DE∥BC.

又因为DE⊄平面A₁CB，

所以DE∥平面A₁CB.

(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，

所以DE⊥AC.

所以DE⊥A₁D，DE⊥CD，

所以DE⊥平面A₁DC.

而A₁F⊂平面A₁DC，

所以DE⊥A₁F.

又因为A₁F⊥CD，

所以A₁F⊥平面BCDE，

所以A₁F⊥BE.

(3)线段A₁B上存在点Q，使A₁C⊥平面DEQ.

理由如下：

如下图，分别取A₁C，A₁B的中点P，Q，

则PQ∥BC.

又因为DE∥BC，

所以DE∥PQ.

所以平面DEQ即为平面DEP，

由(2)知，DE⊥平面A₁DC，

所以DE⊥A₁C.

又因为P是等腰三角形DA₁C底边A₁C的中点，

所以A₁C⊥DP.

所以A₁C⊥平面DEP.

从而A₁C⊥平面DEQ.

故线段A₁B上存在点Q，使得A₁C⊥平面DEQ.