Question

如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱A₁B₁的中点，则异面直线A₁C与AE所成角的余弦值是______．

Answer 1

以D为坐标原点，建立空间直角坐标如图；设正方体的棱长为1，
则A（1，0，0），A₁（1，0，1），B₁（1，1，1，），C（0，1，0），
因为E是棱A₁B₁的中点，所以E（1，

1

2

，1），
所以

AE

=(0，

1

2

，1)，|

AE

|=

( 1 2 )2+1

=

5

2

，

A1C

=(-1，1，-1)，|

A1C

|=

3

，

A1C

?

AE

=

1

2

-1=-

1

2

，即

CA1

?

AE

=

1

2

，
所以异面直线A₁C与AE所成角的余弦值为cos＜

CA1

，

AE

＞=

CA1 ? AE

| CA1 |?| AE |

=

1 2

5 2 × 3

=

15

15

．
故答案为：

15

15

．