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精英家教网如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点E为棱AB的中点.
求:
(1)D1E与平面BC1D所成角的正弦值;
(2)二面角D-BC1-C的余弦值.
分析:(1)延长EB至F使BF=1,连接C1F,则C1F∥D1E,则C1F与平面BC1D所成角等于D1E与平面BC1D所成角θ,计算出F到BC1D的距离h.则sinθ=
h
C1F

(2)取BC1的中点H,连接DH,CH,则∠DHC为二面角D-BC1-C的平面角,在△DHC中利用余弦定理计算即可.
解答:解:(1)如图精英家教网

延长EB至F使BF=1,连接C1F,则C1F∥D1E,则C1F与平面BC1D所成角等于D1E与平面BC1D所成角,设为θ,
设F到BC1D的距离为h.,则VC1-DBF=V F-C1BD
1
3
S△DBF×CC1=
1
3
S△DBC1×h,S△DBF=
1
2
×BF×DA=1,
S△DBC1=
3
4
×8=2
3
,∴h=
3
3
,sinθ=
h
C1F
h
D1E
=
3
3
3
=
3
9

(2)取BC1的中点H,连接DH,CH,∵△DBC1为正三角形,BCC1为等腰直角三角形,∴DH⊥BC 1,CH⊥BC 1
∴∠DHC为二面角D-BC1-C的平面角,设为β,在△DHC中,cosβ=
DH2+HC2CD2
2DH×HC
=
6+2-4
2
2
=
3
3


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点评:本题考查线面角、二面角求解,考查化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力
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