Question

如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，E、F分别是D₁C、AB的中点．
（I）求证：EF∥平面ADD₁A₁；
（Ⅱ）求二面角D-EF-A的余弦值．

Answer 1

分析：（I）取DD₁的中点G，连接GA，GE，推导出四边形AFEG为平行四边形，由此能够证明EF∥平面ADD₁A₁．
（Ⅱ）以DA为x轴，以DC为y轴，以DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面DEF和平面AEF的法向量，利用向量法能够求出二面角D-EF-A的余弦值．

解答：（I）证明：如图，取DD₁的中点G，连接GA，GE，
正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是D₁C、AB的中点，
∴GE∥DC∥AB，GE=

1

2

DC=

1

2

AB=AF，
∴GE∥AF，GE=AF，四边形AFEG为平行四边形，
∴EF∥AG，AG?平面ADD₁A₁，EF?平面ADD₁A₁，
∴EF∥平面ADD₁A₁．
（Ⅱ）解：如图，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设棱长为2，则D（0，0，0），E（0，1，1），F（2，1，0），A（2，0，0），
∴

DE

=(0，1，1)，

DF

=(2，1，0)，

AE

=(-2，1，1)，

AF

=(0，1，0)，
设平面DEF的法向量为

n

=(x，y，z)，则

n

•

DE

=0，

n

•

DF

=0，
∴

y+z=0 2x+y=0

，解得

n

=(-1，2，-2)，
设平面AEF的法向量

m

=(x1，y1，z1)，则

m

•

AE

=0，

m

•

AF

=0，
∴

-2x1+y1+z1=0 y1=0

，解得

m

=(1，0，2)，
设二面角D-EF-A的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=|

-1+0-4

9 • 5

|=

5

3

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法和等价转化思想的合理运用．