题目内容

如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点P,Q,R分别是棱AB,CC1,D1A1的中点.
(1)求证:B1D⊥平面PQR;
(2)设二面角B1-PR-Q的大小为θ,求|cosθ|.
分析:(1)建立空间直角坐标系,用坐标表示向量,利用向量的数量积为0,判断向量垂直,再利用线面垂直的判定定理可以证明;
(2)求出平面B1PR的一个法向量,利用向量的夹角公式,我们可以求出向量的夹角的余弦值,这样,我们就利用求出|cosθ|.
解答:解:(1)建立如图所示的空间直角坐标系,则P(1,0,0),
Q(2,2,1),R(0,1,2),D(0,2,0),B1(2,0,2)
PR
=(-1,1,2),
PQ
=(1,2,1),
B1D
=(-2,2,-2)

PR
B1D
=2+2-4=0
PQ
B1D
=-2+4-2=0

PR
B1D
PQ
B1D

∵PR∩PQ=P,PR,PQ⊆平面PQR;
∴B1D⊥平面PQR;
(2)由(1)知,
B1D
是平面PQR的一个法向量
n
=(x,y,z)
是平面B1PR的一个法向量
B1P
=(-1,0,-2)

n
B1P
=0
n
PR
=0
,∴
-x-2z=0
-x+y+2z=0

取z=1,则x=-2,y=-4
∴平面B1PR的一个法向量为
n
=(-2,-4,1)

cos<
n
B1D
> =
n
B1D
|
n
|  |
B1D
|
=
4-8-2
2
3
×
21
=-
7
7

|cosθ|=
7
7
点评:利用空间向量解决立体几何问题优点是减少辅助线的添加,利用代数的方法解决立体几何问题,这是向量的一种创新运用.
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