Question

【题目】已知函数， ，其中是自然对数的底数.

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.

Answer 1

【答案】（1） （2）见解析

【解析】试题分析：（Ⅰ）求导数得斜率，由点斜式写出直线方程.

（Ⅱ）写出函数，

求导数得到 ，由于的正负与的取值有关，故可令，通过应用导数研究在上的单调性，明确其正负.然后分以下情况讨论 极值情况：(1)当时.(2)当时.

试题解析：（Ⅰ）由题意

又，

所以，

因此 曲线在点处的切线方程为

，

即 .

（Ⅱ）由题意得 ，

因为

，

令

则

所以在上单调递增.

因为

所以 当时，

当时，

(1)当时，

当时， ， 单调递减，

当时， ， 单调递增，

所以 当时取得极小值，极小值是 ；

(2)当时，

由 得 ，

①当时， ，

当时， ， 单调递增；

当时， ， 单调递减；

当时， ， 单调递增.

所以 当时取得极大值.

极大值为，

当时取到极小值，极小值是 ；

②当时， ，

所以 当时， ，函数在上单调递增，无极值；

③当时，

所以 当时， ， 单调递增；

当时， ， 单调递减；

当时， ， 单调递增；

所以 当时取得极大值，极大值是；

当时取得极小值.

极小值是.

综上所述：

当时， 在上单调递减，在上单调递增，

函数有极小值，极小值是；

当时，函数在和和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，

极大值是

极小值是；

当时，函数在上单调递增，无极值；

当时，函数在和上单调递增，

在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，

极大值是；

极小值是.