题目内容

已知 $数学公式$ ．
（1）求f（x）的最大值及此时x的值；　
（2）求f（x）的单调递增区间．

解：（1）∵2sinxcosx=sin2x，2cos²x=1+cos2x
∴ $\text{[math]}$ =sin2x+ $\text{[math]}$ （1+cos2x）-1- $\text{[math]}$ =sin2x+ $\text{[math]}$ cos2x-1
化简，得f（x）=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）-1
∴当2x+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 时，即x= $\text{[math]}$ +kπ（k∈Z）时，函数有最大值1
（2）令 $\text{[math]}$ +2kπ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，得- $\text{[math]}$ +kπ≤x≤ $\text{[math]}$ +kπ，（k∈Z）
∴f（x）的单调递增区间是[- $\text{[math]}$ +kπ， $\text{[math]}$ +kπ]（k∈Z）
分析：（1）利用三角函数的二倍角公式进行降次，再用辅助角公式合并，可得（x）=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）-1，最后用正弦函数图象与性质，可得函数的最大值及此时x的值．
（2）由（1）的表达式，结合正弦函数单调区间的结论，解不等式并化简，即可得到f（x）的单调递增区间．
点评：本题给出一个特殊三角函数表达式，叫我们求函数的单调递增区间并求函数最大值，着重考查了二倍角的三角函数公式和辅助角公式，以及正弦函数单调性等知识，属于基础题．