Question

【题目】已知三棱锥中， ， 为的中点， 为的中点，且为正三角形.

（1）求证： 平面；

（2）若，求点到平面的距离.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）根据正三角形三线合一，可得，利用三角形中位线定理及空间直线夹角的定义可得，由线面垂直的判定定理可得平面，即，再由结合线面垂直的判定定理可得平面；（2）记点到平面的距离为，则有，分别求出的长，及和面积，利用等积法可得答案.

试题解析：（1）证明：如图，∵为正三角形，且为的中点，

∴.

又∵为的中点， 为的中点，

∴,∴.

又已知,

∴平面,∴.

又∵,

∴平面.

（2）解：法一：记点到平面的距离为，则有

∵ ∴，

又,∴，

∴，又，∴，

在中， ，又∵，

∴，

∴，∴

即点到平面的距离为.

法二：∵平面平面且交线为，过作，则平面， 的长为点到平面的距离；

∵，∴，又，∴，∴.

又，

∴，

∴，即点到平面的距离为.

【方法点晴】本题主要考查的是线面垂直、棱锥的体积公式以及“等积变换”的应用，属于中档题．解题时一定要注意二面角的平面角是锐角还是钝角，否则很容易出现错误．证明线面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线．