Question

已知f(x)=sin2x+2

2

asin(x+

π

4

)在x∈[0，

11

12

π]上有最小值-

5

2

，求f（x）的最大值．

Answer 1

分析：利用换元法令t=sinx+cosx，则-

2

2

≤t≤

2

，化简函数为二次函数，通过对对称轴的讨论，结合函数的最小值，求出函数的最大值即可．

解答：解：f（x）=2sinxcosx+2a（sinx+cosx），令t=sinx+cosx，则-

2

2

≤t≤

2

2sinxcosx=t²-1f（x）=g（t）=t²+2at-1
1）．对称轴t=-a≤-

2

2

时，f(x)min=g(-

2

2

)=-

5

2

a=

2

，f(x)max=g(

2

)=5
2）.-

2

2

＜-a＜

2

时，f(x)min=g(-a)=a2-2a2-1=-

5

2

∴a=±

6

2

(正根舍去)比较g(

2

)与g(-

2

2

)大小可知，
f(x)max=g(-

2

2

)=

3

-

1

2

3）.-a≥

2

时，f(x)min=g(

2

)得a=-

7 2

8

＞-

2

无解
综上所知，当a=

2

时，fmax(x)=5，当a=-

6

2

时，fmax(x)=

3

-

1

2

点评：本题是中档题，考查换元法的思想的应用，二次函数的指正的求法，考查计算能力，转化思想的应用，分类讨论思想的应用．