Question

【题目】已知函数．

讨论函数的单调性；

若关于x的方程有唯一解，且，，求n的值．

Answer 1

【答案】(1) 当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减；

（2）。

【解析】

（1）先通过函数得出解析式，再对分别进行讨论；

（2）首先可以根据设，再对进行二次求导得出的最大值，并且根据方程有唯一解得出最大值等于0，然后进行联立方程，计算得出结果。

（1）.

当时，，在上单调递增；

当时，由解得；由解得，

综上所述：当时，函数在上单调递增；

当时，函数在上单调递增，

函数在上单调递减.

（2）由已知可得方程有唯一解，且，.

设（），

即由唯一解，，.

由，令，

则，

所以在上单调递减，即在上单调递减.

又时，；时，，

故存在使得.

当时，，在上单调递增，

时，，在上单调递减.

又有唯一解，则必有

由消去得.

令，

则

.

故当时，，在上单调递减，

当时，，在上单调递增.

由，，

即存在，使得即.

又关于的方程有唯一解，且，，

所以.

故。