Question

【题目】如图，平面PAC⊥平面ABC，是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，.

（1）设G是OC的中点，证明：∥平面；

（2）证明：在内存在一点M，使FM⊥平面BOE，求点M到OA，OB的距离.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析，点M到OA，OB的距离为.

【解析】

（1）连结OP，以O为坐标原点建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并求得平面的法向量，即可由向量数量积的坐标运算证明，进而可知∥平面；

（2）M在内，可设点M的坐标为，由平面，可知，由共线向量的坐标关系即可求得M的坐标，检验M的坐标是否满足在内，进而由M的坐标可求得点M到OA，OB的距离.

（1）证明：为中点，连结OP如下图所示，

因为,

所以，

因为平面平面，且平面平面，

所以平面，

而平面，则.

以O为坐标原点，分别以OB、OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

则，

由题意得，得，

而，

设平面的法向量为

则,代入可得，

令，代入可得，所以平面BOE的法向量为

而，

得，即，

又直线不在平面内，

因此有平面.

（II）设点M的坐标为，则，

因为平面，所以有，

因此有，即点M的坐标为，

在平面直角坐标系中，的内部区域满足不等式组，

经检验，点M的坐标满足上述不等式组，

所以在内存在一点M，使平面，由点M的坐标得点M到OA，OB的距离为.