Question

【题目】如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点，点M为BB1的中点．

（1）求证：PB1⊥平面PAC；

（2）求直线CM与平面PAC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）先证明、即可；（2）建立空间直角坐标系，分别求出及平面的法向量的坐标，然后由公式计算即可．

（1）证明：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，由AB＝AD＝1，AA1＝2，

点P为DD1的中点，点M为BB1的中点，得PC2＝2，PB12＝3，B1C2＝5，

∴PC2+PB12＝B1C2，则PB1⊥PC，

同理PB1⊥PA，又PA∩PC＝P，

∴直线PB1⊥平面PAC；

（2）解：以D为坐标原点，分别以DC，DA，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

由已知可得，C（1，0，0），M（1，1，1），A（0，1，0），P（0，0，1），

，，，

设平面CAP的一个法向量为，

由，取z＝1，得．

设直线CM与平面PAC所成角为θ，

则．

∴直线CM与平面PAC所成角的正弦值为．