Question

 已知f（x）=（x∈R）在区间[－1，1]上是增函数．

（Ⅰ）求实数的值组成的集合A；

（Ⅱ）设关于x的方程f（x）=的两个非零实根为x₁、x₂．

试问：是否存在实数m，使得不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|对任意∈A及t∈[－1，1]恒成立？

若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（Ⅰ）f＇（x）== …………．2分

    ∵f（x）在[－1，1]上是增函数，

    ∴f＇（x）≥0对x∈[－1，1]恒成立，

    即x²－ax－2≤0对x∈[－1，1]恒成立．       ①………．．3分

    设（x）=x²－ax－2，

           （1）=1－a－2≤0，

    ①                         …………4分 －1≤a≤1………………．5分

               （－1）=1+a－2≤0．

   

    ∵对x∈[－1，1]，f（x）是连续函数，且只有当a=1时，f＇（-1）=0以及当a=－1时，f＇（1）=0

    ∴A={a|－1≤a≤1}．     ………………6分

    （Ⅱ）由=，得x²－ax－2=0，   ∵△=a²+8>0

    ∴x₁，x₂是方程x²－ax－2=0的两非零实根，

             x₁+x₂=a，

    ∴          从而|x₁－x₂|==．

    x₁x₂=－2，

    ∵－1≤a≤1，∴|x₁-x₂|=≤3．

    要使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，

    当且仅当m²+tm+1≥3对任意t∈[－1，1]恒成立，

    即m²+tm－2≥0对任意t∈[－1，1]恒成立．       ②

    设g（t）=m²+tm－2=mt+（m），

         g（－1）=m²－m－2≥0，

    ②

             g（1）=m²+m－2≥0，

      

       m≥2或m≤－2．

    所以，存在实数m，使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤－2}．