Question

已知f （x）=sin （x+

π

2

），g （x）=cos （x-

π

2

），则下列命题中正确的是（　　）

• A、函数y=f（x）•g（x）的最小正周期为2π
• B、函数y=f（x）•g（x）是偶函数
• C、函数y=f（x）+g（x）的最小值为-1
• D、函数y=f（x）+g（x）的一个单调增区间是[-

  3π

  4

  ，

  3π

  4

  ]

Answer 1

分析：化简f（x），g（x），逐一进行判断即可．

解答：解：f （x）=sin （x+

π

2

）=cos（x），g （x）=cos （x-

π

2

）=sin（x），
∴y=f（x）•g（x）=sin（x）cos（x）=

1

2

sin(2x)，最小正周期为π，是奇函数，因此A，B不正确．
y=f（x）+g（x）=

2

sin(x+

π

4

)，最小值为-

2

，C不正确．
当x∈[-

3π

4

，

3π

4

]时，x+

π

4

∈[

-π

2

， 

π

2

]，为增函数．D正确．
故选D．

点评：本题考查了三角函数的化简及其奇偶性，单调性，最值，属于基础题型．