Question

设二次函数f（x）=x²+bx+c（b，c∈R），已知α，β不论为何实数恒有f（sinα）≥0，f（2+cosβ）≤0，
（1）求证：b+c+1=0；
（2）求证c≥3；
（3）若函数f（sinα）的最大值为8，求b，c值。

Answer 1

解：（1）∵∈[-1，1]，2+∈[1，3]，
又∵f（）≥0，f（2+）≤0恒成立，
∴f（1）≥0，f（1）≤0，
即f（1）=0，
∴1+b+c=0。
（2）∵f（3）≤0，
∴9+3b+c≤0，
∴9+3（-1-c）+c≤0，
∴c≥3。
（3）由题意可知：f（x）在[-1，1]上为减函数，
∴8=f（-1）=1-b+c，            ①
又b+c=-1，                           ②
联立①②，得b=-4，c=3。