题目内容
已知函数
，设f（x）的最大值、最小值分别为m，n，若m-n＜1，则正整数a的取值个数是
- A.1
- B.2
- C.3
- D.4
B
分析：先将函数平方，然后利用基本不等式和二次函数的单调性求出函数的最值，最后根据m-n＜1建立不等式关系，求出所求．
解答：∵
≥0
∴[f（x）]2=2a+2
≥2a，
当x=0 或2a时f（x）取最小值n=
又2≤2a-x+x=2a，当x=2a-x即x=a时取等号
即f（x）2≤2a+2a=4a，f（x）≤2
，当x=a时取最大值m=2
这样m-n=2-＜1
＜
=
因此只能取a=1 或 2
共2个正整数．
故选B．
点评：本题主要考查了函数的最值及其几何意义，以及不等式的应用，同时考查了分析问题的能力，属于中档题．
分析：先将函数平方，然后利用基本不等式和二次函数的单调性求出函数的最值，最后根据m-n＜1建立不等式关系，求出所求．
解答：∵
≥0∴[f（x）]2=2a+2
≥2a，当x=0 或2a时f（x）取最小值n=
又2
≤2a-x+x=2a，当x=2a-x即x=a时取等号即f（x）2≤2a+2a=4a，f（x）≤2
，当x=a时取最大值m=2这样m-n=2
-＜1＜=因此只能取a=1 或 2
共2个正整数．
故选B．
点评：本题主要考查了函数的最值及其几何意义，以及不等式的应用，同时考查了分析问题的能力，属于中档题．
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