Question

已知函数f（x）=x-2

2x

+2（x≥2）
（Ⅰ）求反函数；
（Ⅱ）若数列{a_n}（a_n＞0）的前n项和S_n=f^-1（S_n-1），（x≥2），且a₁=2求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ） 令bn=

an+1 -an

2anan+1

（n∈N），求

lim

n→∞

(b1+b2+…+bn-n)．

Answer 1

分析：（1）根据反函数定义，用y表示x，同时注意反函数的定义域．
（Ⅱ）通过已知条件变形，直接根据等差数列定义判断得知求解．
（Ⅲ）由第Ⅱ知，将bn由n的关系式表示，然后用累加法可解．

解答：解：（Ⅰ）令y=f（x），∵f（x）=x-2

2x

+2，
∴y=(

x

-

2

)2，（y≥0），即f^-1（x）=(

x

-

2

) 2（x≥0）
（Ⅱ）∵S_n=f^-1（S_n-1），（x≥2），
∴S_n=(

Sn-1

-

2

)2即

Sn

-

Sn-1

=

2

∴{

Sn

}是首项为

2

、公差为

2

的等差数列，
故

Sn

=

2

n，即S_n=2n²，∴数列{a_n}也是等差数列，此时可得数列{a_n}的
  通项公式为a_n=4n-2（n∈N）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，bn=

an+1 -an

2anan+1

=

1

2

(

1

an

-

1

an+1

)=

1

2

(

1

4n-2

-

1

4n+2

)=

1

8

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
则

lim

n→∞

(b1+b2+…+bn-n)=

lim

n→∞

1

8

（1-

1

2n+1

）=

1

8

点评：此题考查反函数的定义，等差数列定义及数列求和常用的方法--叠加法．