Question

在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2

3

，M、N分别为AB、SB的中点．
（Ⅰ）证明：AC⊥SB；
（Ⅱ）求二面角N-CM-B的余弦值；
（Ⅲ）求三棱锥N-BCM的体积．

Answer 1

（Ⅰ）证明：取AC中点O，连结OS、OB．
∵SA=SC，AB=BC，
∴AC⊥SO且AC⊥BO．
∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC，
∴SO⊥面ABC，
∴SO⊥BO．
如图所示建立空间直角坐标系O-xyz．
则A(2，0，0)，B(0，2

3

，0)，C（-2，0，0），S(0，0，2

2

)，M(1，

3

，0)，N(0，

3

，

2

)．
∴

AC

=(-4，0，0)

SB

=(0，2

3

，-2

2

)，
∵

AC

•

SB

=(-4，0，0)•(0，2

3

，-2

2

)=0，
∴AC⊥SB．（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得

CM

=(3，

3

，0)，

MN

=(-1，0，

2

)，
设

n

=(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，则

CM

•

n

=3x+

3

y=0，

MN

•

n

=-x+

2

z=0，所以可取

n

=(

2

，-

6

，1)．又

OS

=(0，0，2

2

)为平面ABC的一个法向量，
∴cos(

n

•

OS

)=

n • OS

| n |•| OS |

=

1

3

，
∴二面角N-CM-B的余弦值为

1

3

．     （9分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）知OS=2

2

，∴N到平面ABC的距离为

1

2

OS=

2

，
而△CBM的面积为

1

2

×

3

4

×42=2

3

，
∴三棱锥N-BCM的体积为VN-BCM=

1

3

×2

3

×

2

=

2 6

3

．       （12分）