Question

若点A是圆x²+y²=1上任意一点，过A作该圆的切线l，则l与下列曲线一定有公共点的是（　　）

• A．y²=x
• B．

  x2

  2

  -y2=1
• C．（x-2）²+y²=4
• D．

  x2

  3

  +y2=1

Answer 1

分析：对于A．B．C．若取过点（-1，0）作圆x²+y²=1的切线l：x=-1，即可判断与A，B，C有无交点的情况；
D．如图所示，圆x²+y²=1上的所有点（除了点（0，±1）在椭圆上）其余的点都在椭圆内部，此时过圆上的A作该圆的切线l，则直接可判断出l与椭圆公共点的情况．

解答：解：A．若过点（-1，0）作圆x²+y²=1的切线l：x=-1，则与y²=x无交点；
B．若过点（-1，0）作圆x²+y²=1的切线l：x=-1，则与

x2

2

-y2=1(|x|≥

2

)无交点；
C．若过点（-1，0）作圆x²+y²=1的切线l：x=-1，则与（x-2）²+y²=4（0≤x≤4）无交点；
D．如图所示，圆x²+y²=1上的所有点（除了点（0，±1）在椭圆上）其余的点都在椭圆内部，因此过圆上的A作该圆的切线l，则l与椭圆一定有公共点．
综上可知：只有D满足题意．
故选D．

点评：本题考查了直线与圆相切问题、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识与基本技能方法，属于中档题．