Question

【题目】如图，在四棱锥中，平面，，且，，．

（1）求证：；

（2）在线段上，是否存在一点，使得二面角的大小为45°，如果存在，求与平面所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)

【解析】

(1)根据平面得出,再在梯形中利用勾股定理证明,进而得到平面即可.

(2)根据二面角的大小为,过作于,过作于,连接可得为二面角,计算可得为中点.再利用等体积法求与平面所成角的正弦值即可.

(1)证明：由题四边形为直角梯形,故,,故.故.

又平面,平面,故.

又,故平面,又平面,故.

(2)设存在符合条件的点,过点作于,过作于,连接.

则,故平面,又平面,故.

又,,故平面,故为二面角.

则.故,设则因为,故.,所以,故.

所以.

再考虑底面,易得,.

故,.

故.

又,故到平面的距离满足,解得.又.

故与平面所成角的正弦值