Question

如图，已知曲线C：，．从C上的点Q_n（x_n，y_n）作x轴的垂线，交C_n于点P_n，再从点P_n作y轴的垂线，交C于点Q_n+1（x_n+1，y_n+1），设x₁=1，a_n=x_n+1-x_n，b_n=y_n-y_n+1．
（Ⅰ）求Q₁，Q₂的坐标；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）记数列{a_n•b_n}的前n项和为S_n，求证：．

Answer 1

【答案】分析：（I）由Q_n（x_n，y_n），Q_n+1（x_n+1，y_n+1），知点P_n的坐标为（x_n，y_n+1），由此能求出点Q₁、Q₂的坐标；
（II）由Q_n，Q_n+1在曲线C上，知，，由P_n在曲线C_n上，知，由此能求出数列{a_n} 的通项公式；
（III）由x_n=（x_n-x_n-1）+（x_n-1-x_n-2）+…+（x₂-x₁）+x₁=2^-（n-1）+2^-（n-2）+…+2^-1+1==2-2^1-n，知a_n•b_n=（x_n+1-x_n）•（y_n-y_n+1）===，由此入手能够证明s_n＜．
解答：（I）解：∵Q_n（x_n，y_n），Q_n+1（x_n+1，y_n+1），
∴点P_n的坐标为（x_n，y_n+1）
∵x₁=1∴y₁=1，∴Q₁（x₁，y₁）即Q₁（1，1）
，令x=1则y₂=
∴P₁的坐标为（x₁，y₂）即（1，）
令=得x₂=
∴Q₂（x₂，y₂）即Q₁（，）．-----------------------------------（2分）
（II）解：∵Q_n，Q_n+1在曲线C上，
∴，，
又∵P_n在曲线C_n上，
∴，--------------------------------（4分）
∴x_n+1=x_n+2^-n，
∴a_n=2^-n．-----------------------------------------（6分）
（III）证明：x_n=（x_n-x_n-1）+（x_n-1-x_n-2）+…+（x₂-x₁）+x₁
=2^-（n-1）+2^-（n-2）+…+2^-1+1
=
=2-2^1-n．-------------------（9分）
∴a_n•b_n=（x_n+1-x_n）•（y_n-y_n+1）===，
∵2•2ⁿ-2≥2ⁿ，2•2ⁿ-1≥3，
∴．--------------------------------（12分）
∴S_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n
-----------------------（14分）
点评：本题主要考查了等比数列的通项公式，以及等比数列的求和公式和数列与不等式的综合，同时考查了转化的思想和计算的能力，属于难题．