Question

【题目】已知函数 .

（1）判断并证明函数的单调性；

（2）若函数为奇函数，求实数的值；

（3）在（2）条件下，若对任意的正数,不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）增函数（2）（3）的取值范围﹤

【解析】

（1）在定义域上任取两个变量，且规定大小，再将对应的函数值作差变形看符号，利用单调性的定义即可得到结论．

（2）由f（x）是R上的奇函数所以f（x）+f（﹣x）＝0求得．

（3）先求得a，结合（1）（2）得﹥对任意的﹥0恒成立，利用二次函数图像及性质可得答案．

（1）函数为R上的增函数，证明如下：

函数的定义域为R，对任意，

设﹤，，

因为为R上的增函数，且﹤，所以﹤0，﹤0， ﹤函数为R上的增函数。

（2）∵函数为奇函数

∴，∴

当时，

∴，

此时，函数为奇函数，满足题意。

所以.

（3）因为函数为奇函数，从而不等式﹥0对任意的恒成立等价于不等式﹥对任意的恒成立。

又因为在（—∞，+∞）上为增函数，

所以等价于不等式﹥对任意的﹥0恒成立，

即2﹥0对任意的﹥0恒成立.

所以必须有﹥0且△﹤0；或，

所以实数的取值范围﹤