Question

【题目】已知f（x）= ，其中 =（2cosx，﹣ sin2x）， =（cosx，1）（x∈R）．
（1）求f（x）的周期和单调递减区间；
（2）在△ABC 中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，f（A）=﹣1，a= ， =3，求边长b和c的值（b＞c）．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意知：

f（x）= = ，

∴f（x）的最小正周期 T=π．

由 2kπ≤2x+ ≤2kπ+π，k∈z，求得 ，k∈z．

∴f（x）的单调递减区间 ，k∈z

（2）解：∵f （A）= =﹣1，∴ ，

又 ＜2A+ ＜ ，∴2A+ =π，A= ．

∵ 即bc=6，由余弦定理得 a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣3bc，7=（b+c）2﹣18，b+c=5，

又b＞c，∴b=3，c=2

【解析】（Ⅰ）利用两个向量的数量积公式，利用三角函数的恒等变换化简f（x）的解析式为 ，由此求出最小正周期和单调减区间．（Ⅱ）由f （A）=1求得 ，再根据2A+ 的范围求出2A+ 的值，从而求出A的值，再由 和余弦定理求得b和c的值．
【考点精析】通过灵活运用正弦函数的单调性和余弦定理的定义，掌握正弦函数的单调性：在上是增函数；在上是减函数；余弦定理:;;即可以解答此题．