Question

已知函数f(x)对一切x、y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y).

(1)求证：f(x)在R上满足f(－x)=－f(x);?

(2)若x>0时，f(x)<0,判断f(x)的单调性.??

Answer 1

解：(1)证明:令x=y=0,可得f(0)=0,?

令y=－x,可得f(x)+f(－x)=f(x－x)=f(0)=0,?

所以－f(x)=f(－x).?

(2)任取x₁、x₂∈R,且x₁<x₂,?

则f(x₂)－f(x₁)=f(x₂)+f(－x₁)=f(x₂－x₁),??

∵x₂>x₁,∴x₂－x₁>0.?

由条件知f(x₂－x₁)<0,?

∴f(x₂)<f(x₁).?

∴f(x)在R上是单调减函数.?

点评:因等式f(x+y)=f(x)+f(y)对x、y∈R成立，利用赋特殊值法进行推证.?

对于抽象函数，都有其实际背景，如本题由f(a+b)=f(a)·f(b),可以联想到就是后面即将学习的指数函数y=a^x所具有的性质.