Question

已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tanBtanC-

3

(tanB+tanC)=1．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）现给出三个条件：①a=1；②b=2sinB；③2c-(

3

+1)b=0．试从中选择两个条件求△ABC的面积（注：只需选择一个方案答题，如果用多种方案答题，则按第一种方案给分）．

Answer 1

分析：（1）利用两角和的正切公式转化出tan（B+C）的值是求解角A的关键．用好A+B+C=π这一条件．
（2）选择①③这两个边的条件，利用余弦定理求解出b，c，进而利用面积公式求三角形的面积．

解答：解：（Ⅰ）由tanBtanC-

3

(tanB+tanC)=1，
得

tanB+tanC

1-tanBtanC

=-

3

3

，
所以tan(B+C)=-

3

3

，tanA=-tan(B+C)=

3

3

，
所以A=

π

6

（Ⅱ）选择①③，∵A=30°，a=1，2c-（

3

+1）b=0，
所以c=

3 +1

2

b，
则根据余弦定理，得12=b2+(

3 +1

2

b)2-2b•

3 +1

2

b•

3

2

，
解得b=

2

，则c=

6 + 2

2

∴S△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×

2

×

6 + 2

2

×

1

2

=

3 +1

4

．

点评：本题属于开放性问题．解决本题的关键用好三角形中各角之和为π这一条件进行角之间的转化，考查学生解三角形的基本知识．属于基本题型．