Question

空间四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=，BC=CD=a，AB=AD=a，A在面BCD上的射影为A₁，若AA₁中点为M，BC中点为N，过A、B、C、D四点的球的球心为O，直线MN与球面交于P、Q两点，则∠POQ=_____________.

Answer 1

答案：arccos()  【解析】本题考查空间关系的论证及运算，综合性较高；

如图：A点在底面BCD的射影A₁如图所示且球心为AC的中点，易得OM=A₁C=BD=a，又在直角三角形OGN中，OG=，NG=，故NO=，同理可在直角三角形MA₁N中求得MN=,在三角形OMN中可求出球心到MN的距离为a，由MN与球交于两点P、Q，故在三角形OPQ中由已知可得到球的半径为OP=OQ=a，球心到PQ的距离为a，故PQ=a，在三角形OPQ中利用余弦定理即得：

cos∠POQ=∠POQ=arccos()．