题目内容
如图，AA1、BB1为圆柱OO1的母线，BC是底面圆O的直径，D、E分别是AA1、CB1的中点．（I）证明：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）若BB1=BC=2，求三棱锥A-A1BC的体积的最大值．
【答案】分析：（I）利用线面平行的判定定理证明：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）利用锥体的体积公式求体积．
解答：解：（I）证明：连结EO，OA．
∵E，O分别为B1C，BC的中点，
∴EO∥BB1．
又DA∥BB1，且DA=EO=
BB1．
∴四边形AOED是平行四边形，
即DE∥OA，DE?平面ABC．
∴DE∥平面ABC．．
（II）解：设AB=x，AC=y，
则三棱锥A-A1BC的体积
．
又由题，x2+y2=4≥2xy，得xy≤2，且等号当
时成立；
所以三棱锥A-A1BC的体积的最大值为
．
点评：本题主要考查空间直线与平面平行的判定定理，以及锥体的体积公式．
（Ⅱ）利用锥体的体积公式求体积．
解答：解：（I）证明：连结EO，OA．
∵E，O分别为B1C，BC的中点，
∴EO∥BB1．
又DA∥BB1，且DA=EO=
BB1．∴四边形AOED是平行四边形，
即DE∥OA，DE?平面ABC．
∴DE∥平面ABC．．
（II）解：设AB=x，AC=y，
则三棱锥A-A1BC的体积
．又由题，x2+y2=4≥2xy，得xy≤2，且等号当
时成立；所以三棱锥A-A1BC的体积的最大值为
．点评：本题主要考查空间直线与平面平行的判定定理，以及锥体的体积公式．
练习册系列答案
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