Question

如图，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A₁B₁C₁均为60°，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD．
（I）求证：BD⊥AA₁
（II）求二面角D-AA₁-C的余弦值；
（III）在直线CC₁上是否存在点P，使BP∥平面DA₁C₁，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）设BD与AC交于O，则BD⊥AC，连接A₁O，以OB，OC，OA₁所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，求出与的坐标，计算它们的数量积从而得到BD⊥AA₁
（II）平面AA₁C₁C的一个法向量为n₁=（1，0，0），求出平面AA₁D的一个法向量n₂，计算两法向量的余弦值从而得到二面角D-A₁A-C的平面角的余弦值；
（III）假设在直线CC₁上存在点P，使BP∥平面DA₁C₁，设，求出平面DA₁C₁的法向量n₃，根据法向量n₃与垂直求出λ的值，从而得到点P在C₁C的延长线上，且C₁C=CP．
解答：解：设BD与AC交于O，则BD⊥AC，连接A₁O，在△AA₁O中，AA₁=2，AO=1，∠A₁AO=60°，
所以A₁O²=AA₁²+AO²-2AA₁•AOcos60°=3，
所以AO²+A₁O²=AA₁²，所以A₁O⊥AO．
由于平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，所以A₁O⊥平面ABCD．
以OB，OC，OA₁所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，-1，0），，C（0，1，0），，，
（I）由于，，∴BD⊥AA₁
（II）由于OB⊥平面AA₁C₁C，
∴平面AA₁C₁C的一个法向量为n₁=（1，0，0）
设n₂⊥平面AA₁D，则，
设n₂=（x，y，z），则
取，∴
所以，二面角D-A₁A-C的平面角的余弦值为
（III）假设在直线CC₁上存在点P，使BP∥平面DA₁C₁，设，则，从而有

设n₃⊥平面DA₁C₁，则，又
设n₃=（x₃，y₃，z₃），则，取n₃=（1，0，-1）
因为BP∥平面DA₁C₁，则λ=0，得λ=-1
即点P在C₁C的延长线上，且C₁C=CP
点评：本题主要考查了二面角及其度量，以及平面与平面平行的判定和空间中直线与直线之间的位置关系与空间向量，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．