Question

9．如图，F是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的一个焦点，A，B是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为$\frac{1}{2}$．点C在x轴上，BC⊥BF，B，C，F三点确定的圆M恰好与直线l₁：$x+\sqrt{3}y+3=0$相切．则椭圆的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．

Answer 1

分析 由已知设F（-c，0），B（0，$\sqrt{3}c$），由圆与直线相切的性质和点到直线的距离公式能求出c=1，由此能求出椭圆方程．

解答 解：由已知设F（-c，0），B（0，$\sqrt{3}c$），
∵k_BF=$\sqrt{3}$，k_BC=-$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，C（3c，0），
且圆M的方程为（x-c）²+y²=4c²，圆M与直线l₁：x+$\sqrt{3}$u+3=0相切，
∴$\frac{{|{1×c+\sqrt{3}×0+3}|}}{{\sqrt{1+3}}}=2c$，解得c=1，
∴所求的椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
故答案为：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆与直线相切的性质和点到直线的距离公式的合理运用．