Question

19．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（1，0），B（0，3），C（3，0），动点D满足|CD|=1，则|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OD}$|的最小值是4．

Answer 1

分析 设D（x，y）．由|CD|=1，可得$\sqrt{（x-3）^{2}+{y}^{2}}$=1，化为（x-3）²+y²=1．令$\left\{\begin{array}{l}{x=3+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ∈[0，2π））.$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OD}$=（1+x，3+y）．利用模的计算公式可得|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OD}$|，再利用三角函数的单调性即可得出．

解答 解：设D（x，y）．
∵|CD|=1，∴$\sqrt{（x-3）^{2}+{y}^{2}}$=1，化为（x-3）²+y²=1．
令$\left\{\begin{array}{l}{x=3+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ∈[0，2π））．
∴$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OD}$=（1+x，3+y）．
∴|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OD}$|=$\sqrt{（1+x）^{2}+（3+y）^{2}}$=$\sqrt{（4+cosθ）^{2}+（3+sinθ）^{2}}$=$\sqrt{6sinθ+8cosθ+26}$=$\sqrt{10sin（θ+β）+26}$$≥\sqrt{26-10}$=4，当sin（θ+β）=-1时取等号．
∴|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OD}$|的最小值是4．
故答案为：4．

点评 本题考查了数量积的坐标运算性质、向量的坐标运算、圆的参数方程、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．