Question

9．设f（1）=2，f（n）＞0（n∈N₊），且f（n₁+n₂）=f（n₁）f（n₂）
（1）求f（2），f（3），f（4）；   
（2）猜想f（n）的解析式；   
（3）证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）直接利用已知条件求出f（2）、f（3）、f（4）的值；
（2）利用（1）猜想f（n）的解析式；
（3）然后利用数学归纳法的证明方法证明即可

解答 解：（1）f（1）=2，f（n₁+n₂）=f（n₁）•f（n₂）
∴f（2）=f（1+1）=f（1）•f（1）=2²=4；
f（3）=f（2+1）=f（2）•f（1）=2²•2=8；
f（4）=f（3+1）=f（3）•f（1）=2³•2=16；
（2）猜想f（n）=2ⁿ，n∈N^*
（3）用数学归纳法证明如下：
①当n=1时，f（1）=2¹=2，∴猜想正确；
②假设当n=k（k≥1）时猜想正确，即f（k）=2^k，k∈N^*
那么当n=k+1时，f（k+1）=f（k）f（1）=2^k•2=2^k+1
所以，当n=k+1时，猜想正确
由①②知，对n∈N^*，f（n）=2ⁿ，正确．

点评 本题考查数学归纳法的证明方法的应用，考查逻辑推理能力以及计算能力．