Question

【题目】已知数列，，的前n项和为．

（1）若，，求证：，其中，；

（2）若对任意均有，求的通项公式；

（3）若对任意均有，求证：．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析 ；（2） ；（3）证明见解析.

【解析】

（1）求出数列的通项公式，代入所证明的不等式转化求解即可；

（2）利用递推关系，说明是首项为，公比为3的等比数列，然后求解即可；

（3）化简数列的递推关系式，得出是首项为1，公差为1的等差数列，求出的通项公式，用倒序相加法求数列的前项和，利用（1）结论进行放缩，然后证明即可.

解：（1）由已知为等差数列，且，

，

即

；

（2）

所以是首项为，公比为3的等比数列，

故，

，

；

（3）

即是首项为1，公差为1的等差数列，

故，

记，

由（1）知

，

证明：

又

，

即，

故

两式相加得

，

即.