Question

设曲线（其中a＞0）在点（x₁，f（x₁））及（x₂，f（x₂））处的切线都过点（0，2）．证明：当x₁≠x₂时，f′（x₁）≠f′（x₂）

Answer 1

【答案】分析：根据，f′（x）=x2-ax，由于点（t，f（t））处的切线方程为y-f（t）=f'（t）（x-t），而点（0，2）在切线上，所以2-f（t）=f'（t）（-t），由此利用反证法能够证明f'（x₁）≠f'（x₂）．
解答：解：f（x）=，f'（x）=x²-ax．
由于点（t，f（t））处的切线方程为
y-f（t）=f'（t）（x-t），而点（0，2）在切线上，所以2-f（t）=f'（t）（-t），
化简得，
由于曲线y=f（x）在点（x₁，f（x₁））及（x₂，f（x₂））处的切线都过点（0，2），
即x₁，x₂满足方程
下面用反证法证明结论：
假设f'（x₁）=f'（x₂），
则下列等式成立：
由（3）得x₁+x₂=a
由（1）-（2）得
又
∴，
此时，与x₁≠x₂矛盾，
所以f（x₁）≠f（x₂）．
点评：本题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想．