Question

本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分，作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．
（1）选修4-2：矩阵与变换
设矩阵 （其中a＞0，b＞0）．
（I）若a=2，b=3，求矩阵M的逆矩阵M^-1；
（II）若曲线C：x²+y²=1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C’：，求a，b的值．
（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直接坐标系xOy中，直线l的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为．
（I）已知在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，），判断点P与直线l的位置关系；
（II）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．
（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲
设不等式|2x-1|＜1的解集为M．
（I）求集合M；
（II）若a，b∈M，试比较ab+1与a+b的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）：（I）直接根据求逆矩阵的公式求解，即M=，则代入a，b即可求解
（II）设出曲线C：x²+y²=1任意一点为（x，y）经矩阵M所对应的线性变换作用下得到的点为（x，y），即可根据矩阵乘法M（x，y）=（x，y）得到关于x，y与x，y间的关系，即将之代入得到的含x，y的方程应与x²+y²=1相同，根据待定系数即可运算
（2）：（I）将P的极坐标（4，）根据公式化为直角坐标坐标为（0，4），则根据直角坐标系下点与直线的位置关系判断即可
（II）根据曲线C的参数方程为，设出曲线C上任一点到直线l的距离为d，则根据点到直线的距离公式知d=，即d=，而2sin（）∈[-2，2]，则d的最小值为
（3）：（I）直接根据绝对值不等式的意义（（|a-b|表示a-b与原点的距离，也表示a与b之间的距离）知：-1＜2x-1＜1即可求解
（II）要比较ab+1与a+b的大小，只需比较（ab+1）-（a+b）与0的大小，而（ab+1）-（a+b）=（a-1）（b-1）再根据a，b∈M即可得到（a-1）（b-1）的符号，即可求解．
解答：（1）解：（I）∵
∴
将a=2，b=3代入即得：
（II）设出曲线C：x²+y²=1任意一点为（x，y）经矩阵M所对应的线性变换作用下得到的点为（x，y），
∵M（x，y）=（x，y）
∴
将之代入得：
即
∵a＞0，b＞0
∴
（2）（I）解∵P的极坐标为（4，），
∴P的直角坐标为（0，4）
∵直线l的方程为x-y+4=0
∴（0，4）在直线l上
（II）∵曲线C的参数方程为，直线l的方程为x-y+4=0
设曲线C的到直线l的距离为d
则d==
∵2sin（）∈[-2，2]
∴d的最小值为
（3）（I）解：∵|2x-1|＜1
∴-1＜2x-1＜1
即0＜x＜1
即M为{x|0＜x＜1}
（II∵a，b∈M
∴a-1＜0．b-1＜0
∴（b-1）（a-1）＞0
∴（ab+1）-（a+b）=a（b-1）+（1-b）=（b-1）（a-1）＞0
即（ab+1）＞（a+b）
点评：本题考查了逆变换与逆矩阵，以及待定系数法求解a，b的方法，椭圆的参数方程，绝对值不等式的解法，作差法比较大小的相关知识，属于基础题．