题目内容

已知f（x）=ax²（a∈R），g（x）=2lnx．
（1）讨论函数F（x）=f（x）-g（x）的单调性；
（2）若方程f（x）=g（x）在区间[ $数学公式$ ，e]上有两个不等解，求a的取值范围．

解：（1）F（x）=ax²-2lnx （x＞0）所以 F′（x）= $\text{[math]}$ （x＞0）
所以当a＞0时，函数在（0， $\text{[math]}$ ）上是减函数，在（ $\text{[math]}$ ，+∞）上是增函数，
a≤0时，函数在（0，+∞）上是减函数．
（2）方程f（x）=g（x）在区间[ $\text{[math]}$ ，e]上有两个不等解，
等价于 a= $\text{[math]}$ 在[ $\text{[math]}$ ，e]上有两个不等解
令h（x）= $\text{[math]}$
则 h′（x）= $\text{[math]}$
故函数h（x）在（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）上是增函数，在（ $\text{[math]}$ ，e）上是减函数．
所以 h（x）_max=h（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$
又因为h（e）= $\text{[math]}$ ＜h（2）= $\text{[math]}$ =h （ $\text{[math]}$ ）
故 h（x）_min=h （ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$
所以 $\text{[math]}$ ≤a＜ $\text{[math]}$ ．
即a的取值范围： $\text{[math]}$ ≤a＜ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）先确定函数的定义域然后求导数F′（x），在函数的定义域内解不等式F′（x）＞0和F′（x）＜0，求出单调区间．
（2）方程f（x）=g（x）在区间[ $\text{[math]}$ ，e]上有两个不等解等价于 a= $\text{[math]}$ 在[ $\text{[math]}$ ，e]上有两个不等解，令h（x）= $\text{[math]}$ ，利用导数研究其单调性，从而得出它的最小值，即可得到a的取值范围．
点评：本小题主要考查函数的导数，单调性，函数的零点与方程根的关系等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．